Wednesday, May 10, 2006

O problema do matematico bebado

Neste post estou saindo completamente do assunto do ultimo post, mas como este ultimo requer mais atencao para continuar, o farei em outra ocasiao.

Este problema que chamei de "O problema do matematico bebado" ja vem me atormentando ha alguns anos, desde que o percebi pela primeira vez e nao encontrei uma resposta.

Sabe-se que toda maquina de turing pode simular outra maquina de turing, isso e' um teorema. E e' este teorema que confere aos computadores uma incomensuravel gama de aplicacoes. Dentre estas aplicacoes, esta a capacidade de fazer calculos algebricos.
O ponto crucial do meu pensamento e' que a maquina de turing e' uma abstracao matematica. Na realidade as leis da fisica impedem que exista uma maquina de turing no sentido formal da definicao.
O mais justo neste caso seria assumir, pelo menos numa primeira aproximacao, nao uma maquina de turing stricto sensu, mas uma maquina de turing estocastica e nao mais sera valido o teorema citado acima. Na melhor das hipoteses, poderemos enfraquecer o teorema de modo que se possa simular uma maquina de turing com uma margem de erro, que eventualmente possa ser tao pequena quanto se queira, mas nunca nula na maquina de turing estocastica.
Sem a versao forte do teorema, a capacidade de se realizar calculos algebricos fica seriamente afetada. Imagine um software, criado para demonstrar teoremas, se este for executado numa maquina de turing usual sua unica fonte de erros sera o proprio codigo, que foi introduzido por um agente externo. Caso o codigo esteja correto, ele sempre produzira respostas corretas.
Se este mesmo software for executado numa maquina de turing estocastica, todas as suas demonstracoes terao uma probabilidade P de estarem corretas e uma probabilidadde 1-P de estarem erradas. Na melhor das hipoteses, poderemos executa-lo varias vezes para tentar reduzir a probabilidade da demonstracao estar errada, mas o fato crucial e' que esta probabilidade nunca sera zero. Do ponto de vista formal isto e' uma catastrofe pois a maquina de turing estocastica nao e' capaz de produzir demonstracoes matematicas inquestionaveis. Na verdade, a palavra demonstracao ja inclui a inquestionabilidade do procedimento. Assim sendo, o correto e' dizer que uma maquina de turing estocastica nao e' capaz de fazer demonstracoes matematicas.
Se este problema e' catastrofico para os computadores, ele o e' para os humanos. Como pode ser possivel uma forma de inteligencia cuja dinamica e' probabilistica ser capaz de conceber a matematica, uma estrutura formal nao probabilistica?
A nao ser que se assuma, como o fez muito ingenuamente Rene Descastes no "Discurso do Metodo", que o homem possui uma nocao natural de "perfeicao", a resposta nao e' muito animadora.
O titulo deste post ameniza de certa forma a seriedade deste problema: um matematico nao precisa estar bebado para ser um sistema probabilistico.
Se procurarmos ao longo da historia da matematica algo que de indicios deste problema encontraremos varios deles. Um exemplo e' o do limite de uma serie de funcoes continuas que durante muitos anos os matematicos achavam ser trivialmente uma funcao continua o que nao e' verdade, apenas se a convergencia for uniforme o limite sera uma funcao continua.
Ate o momento nao sei como resolver este impasse, pois ele sugere que o formalismo matematico seja uma ilusao. Talvez a melhor forma de lidar com este problema seja admitir que e' uma conjectura muito fraca a de que o homem possa ser capaz de conceber uma estrutura formal nao probabilistica e, deste modo, deveriamos enfraquecer certos criterios matematicos.

Wednesday, May 03, 2006

Sobre a construção de uma noção de tempo numa forma de inteligência arbitraria

Sendo o primeiro post com a finalidade de dizer algo, saliento que a ideia apresentada é bastante preliminar.

Introdução:

Primeiramente, apresento a versão discreta deste modelo/algoritmo que pode ser utilizado por uma forma de inteligência arbitraria para construir uma noção interna de tempo.

Neste modelo preliminar considero o fluxo de informação de entrada (veja def 1) como uma sequencia de simbolos

I = {s_1,s_2,...,s_n} , s_k in K

onde K é um conjunto finito e n é o tamanho do buffer de entrada. Assumindo, ainda que I é uma pilha do tipo "first in - last out" e que n seja grande o suficiente para construção de uma matriz de correlação significativa façamos:

M_{i,j} = p[s_(l+1)=k_i | s_(l)=k_j] , i,j = 1 ... #K ; l = 1...(n-1) ; k_j in K

Assim, M é a matriz com as probabilidades observadas de transição dos simbolos em I.

Def.: Seja T = { U contido em K x K tal que Prod _ { u in U } [ M_{(u_1,u_2)} ] seja maximo }, chamaremos T de noção tempo do sistema discreto.

Nesta definição, o tempo apareçe como sendo a sequencia de pares (k, k´) que maximiza o produto das probabilidades de transição, o que é uma definição bastante razoável a priori.

Note que se a sequencia de simbolos em I for completamente sem correlação ou n for pequeno demais para que as correlações sejam computadas, não existira noção de tempo. Uma maneira de exemplificar este fato vem da termodinamica: num gas em equilibrio termodinamico não é possivel distinguir entre duas possiveis orientações do tempo, pois todas as probabilidades de transição são iguais.

...

Um definição que sempre utilizarei daqui para frente é a seguinte:

  1. Def. : Forma de inteligência: Entidade abstrata que recebe um fluxo de informação, constrói modelos sobre este fluxo entrante e produz um fluxo de informação de saida, assumindo uma correlação entre os dois, e utilizando os modelos construidos para maximizar alguma "fitness function";

Quando tiver mais tempo disponivel, continuarei expondo algumas ideias e eventuais correções.